Teknik Integral. Substitusi Trigonomerti

Ada dua hal yang akan kita diskusikan dalam pembahasan ini. Pertama, kita akan mendiskusikan bagaimana penggunaan substitusi trigonometri dalam menyelesaikan permasalahan integral. Kedua, kita akan juga membahas penggunaan integral dalam memodelkan dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Integral Trigonometri

Pada pembahasan ini kita akan berlatih untuk menyelesaikan integral-integral yang memiliki bentuk di mana m dan n adalah bilangan bulat positif. Untuk menemukan antiturunan dari bentuk-bentuk tersebut, pecahlah bentuk tersebut menjadi kombinasi dari integral trigonometri sedemikian sehingga kita dapat menggunakan …

• 1. Kalkulus I7 FUNGSI TRIGONOMETRIA. FUNGSI TRIGONOMETRI• Fungsi-fungsi trigonometri umum didefinisikan berdasarkan atas sudut segitiga seperti gambar berikut. tegak sin θ = miring miring datar tegak cos θ = miring θ tegak datar tan θ = datar• Dalam kalkulus, sudut diukur dalam radian daripada dalam derajat dengan persamaan berikut. 2π radian = 360° 0° = 0 radian 90° = π/2 radian 360 0 1 radian = 2π 180° = π radian 0 180 = 270° = 3π/2 radian π 360° = 2π radian1. Sifat Dasar Sinus dan Kosinus a. sin(θ+2π) = sin θ b. cos(θ+2π) = cos θ π/2+θ  c. sin(-θ) = -sin θ θ  d. cos(-θ) = cos θ e. sin (π/2 - θ) = cos θ f. cos (π/2 - θ) = sin θ   Lukmanulhakim Almamalik VII-1 
•  2 Kalkulus I2. Nilai Sudut Istimewa O θ (derajat) sin θ cos θ 0 0 0 1 π/6 30 ½ 3 2 π/4 45 2 2 2 2 π/3 60 3 ½ 2 π/2 90 1 0 2π/3 120 3 -½ 2 3π/4 135 2 2 - 2 2 5π/6 150 ½ 3 - 2 π 180 0 -1B. GRAFIK SINUS, KOSINUS, DAN TANGEN• Grafik Sinus Fungsi y(x) = sin x Berulang setiap 360º atau 2π. Nilai antara +1 dan -1. |sin x| ≤ 1 Lukmanulhakim Almamalik VII-2 
•   3 Kalkulus I• Grafik Cosinus Fungsi y(x) = cos x Berulang setiap 360º atau 2π Nilai antara +1 dan -1. |cos x| ≤ 1 Terjadi pergeseran fase sebesar 90º dari fungsi y = sin x.• Grafik Tangen Fungsi y(x) = tan x Berulang setiap 180º atau π. Tidak dapat didefinisikan pada x=90º, 270º, …• Fungsi trigonometri dapat ditambahkan dengan faktor pengali, suatu konstanta (angka tetap) sebelum fungsi, atau di dalam fungsi, atau keduanya, seperti dapat dilihat pada contoh fungsi berikut. y(x) = A sin Bx dimana A dan B adalah konstanta. a. Faktor Pengali sebelum fungsi (A) mengubah Amplitude. b. Faktor Pengali di dalam fungsi (B) mengubah Frekuensi. Lukmanulhakim Almamalik VII-3 
•  4 Kalkulus IContoh 7.11. y(x) = 3 sin x Berulang setiap 360º. Nilainya sekarang antara +3 dan -3. 2. y(x) = sin 3x Berulang setiap 120º. Frekuensinya menjadi 3 × lebih besar. Nilainya tetap antara +1 and -1.C. KESAMAAN TRIGONOMETRI • Kesamaan Ganjil-Genap Fungsi Trigonometri a. sin(-x) = - sin x b. cos(-x) = cos x c. tan(-x) = -tan x • Kesamaan fungsi ko a. sin (π/2 – x) = cos x b. cos (π/2 – x) = sin x c. tan (π/2 – x) = cot x • Kesamaan Pythagoras a. sin2 x + cos2 x = 1 b. 1 + tan2 x = sec2 x c. 1 + cot2 x = csc2 x • Kesamaan Penambahan a. sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y b. cos(x+y) = cos x cos y – sin x sin y tan x + tan y c. tan (x+y) = 1 − tan x. tan y • Kesamaan Sudut Ganda Lukmanulhakim Almamalik VII-4 
• 5 Kalkulus I a. sin 2x = 2.sin x . cos x b. cos 2x = cos2 x – sin2 x • Kesamaan Setengah-Sudut 1 − cos 2 x a. sin2 x = 2 1 + cos 2 x b. cos2 x = 2 • Kesamaan Jumlah ⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ a. sin x + sin y = 2 sin ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛x+ y⎞ ⎛x− y⎞ b. cos x + cos y = 2 cos ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ • Kesamaan Hasil Kali a. sin x. sin y = -½ [cos (x+y) – cos (x – y)] b. cos x. cos y = ½ [cos (x+y) + cos (x – y)] c. sin x. cos y = ½ [sin (x+y) + sin (x – y)]Latihan 1. Konversikan nilai sudut berikut ke dalam bentuk radian (gunakan π dalam jawaban anda) a. 240o c. -60o e. -135o o o b. 540 d. 22,5 f. 6o 2. Konversikan ukuran radian berikut a. 7π/6 c. 8π b. -π/3 d. π/18 3. Konversikan nilai berikut menjadi radian (1o = 180/π) a. 33,3o b. 35o c. -1,5o 4. Hitung berapa sudut berikut a. tan(π/3) b. cos(-π/3) c. sin(π/2) 5. Buat grafik berikut pada selang [0,2π] a. y = sin 2x b. y = 2 cos 2x c. y = tan (½ x) Lukmanulhakim Almamalik VII-5 

 

AIPKM^DC PKIP[

@keaiasa :

Gasdc e e{imsa qdim `a`keaiasaldi rd`d \d#nW# e `aldpdldi pk~aipkm~dcldi rd`d \d#nW jald

 







iaaaR

 v v e 

42

!&cag

 

d`d# skcdij{piqd



nd

`v v e 

!&

 

`askn{p Aipkm~dc Pkip{ &Aipkm~dc^akgdii! e `d~a d lk n# `di `a`keaiasaldi



nd

`v v e 

!&

7







iaaaR

 v v e 

42

!&cag

 

Pkh~kgd :

Jald e{imsa e lhipai{ rd`d skcdim

#'

`di E s{dp{ dipa p{~{idi `d~a e{imsa e rd`dskcdim ap{#gdld :

∬ 





E&n!'E&d!

N{lpa : Jald R 7

*















,

d`dcdf rd~pasa sknd~dim `d~a skcdim

#'

#gdld :

E&n!'E&d! 7 E&





!'E&





!,E&





!' E&





!,) ) ),E&





!'E&





!7

∔#







'



 Gki{~{p pkh~kgd iacda ~dpd'~dpd qdim `apk~drldi rd`d e{imsa E rd`d skcdim

#







'

 

lapdrk~hckf

E&











7E&





! ) &











7e&





! )





`kimdi













)Jd`a E&n!

 ‟ 

E&d! 7

∔ 







 

^{ds la~a d`dcdf s{dp{ lhispdipd#sk`dimldi ~{ds ldidi d`dcdf j{gcdf ^akgdii e{imsa e rd`dskcdim

#'

) Jald lk`{d ~{ds lapd dgnac cagapiqd {ip{l 

ss

#lapd rk~hckf

E&n!

 ‟ 

E&d! 7



ss

∔ 







∬

